Penulis
Fungsi Cembung pada dasarnya merupakan kebalikan dari fungsi cekung. Yaitu fungsi di mana garis yang menghubungkan dua titik dalam grafik tidak pernah berada di bawah grafik.
Dasar suatu fungsi adalah titik di mana fungsi sama dengan nol. Grafik fungsi dasarnya adalah titik-titik di mana fungsi memotong sumbu x.
Mencari turunan fungsi :
F(x) = X³+ 2x -1
= (x³)’ + (2x)’ – (1)’
= 3x² + 2 + 0
F’(x) = 3x² + 2
Mencari turunan pertama dari fungsi yang ada di atas :
F’(x) = 3x² + 2
F’’(x) = 3.2x + 0
= 6x
Carilah turunan kedua dari fungsi tersebut. Turunan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama dari fungsi, dituliskan sebagai f ′′(x).
Pada contoh di atas, menghitung turunan kedua dari fungsi akan menjadi seperti ini :
F’’(x) = 3.2x + 0
= 6x
F”(x) = 6x
= 6x = 0
= 6 = 0
Carilah turunan ketiga dari fungsi tersebut.
Untuk melihat jika jawaban benar-benar merupakan titik belok, carilah turunan ketiganya, yang merupakan turunan pertama dari turunan kedua dari fungsi, dituliskan sebagai f ′′′(x).
Pada contoh di atas, perhitungan akan tampak seperti ini :
f ′′′(x) = (6x)′
= 6
Carilah titik beloknya. Koordinat titik belok dituliskan sebagai (x,f(x)), dengan x sebagai nilai variabel titik pada titik belok dan f(x) adalah nilai fungsi pada titik belok.
Pada contoh di atas, ingatlah bahwa saat menghitung turunan kedua, menemukan bahwa x = 0. Dengan demikian, harus mencari f(0) untuk menentukan koordinat.
Perhitungan akan terlihat seperti ini :
Perhitungan akan terlihat seperti ini :
f(0) = X³ + 2x -1
= 0³ + 2.0 – 1
= 0 -1
Koordinat titik belok adalah nilai x dan nilai yang hitung di atas. Pada contoh di atas, koordinat titik belok adalah (0, -1).
B. Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada selang tersebut.
Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.
Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Contoh 1:
Menentukan Kecekungan
Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik cekung ke atas atau cekung ke bawah:
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Pembahasan jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ” terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞).
Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut:
- Selang | –∞ < x < –1 | –1 < x < 1 | 1 < x < ∞
- Nilai Uji | x = –2 | x = 0 | x = 0
- Tanda | f ”(x) f ”( –2) > 0 | f ”(0) < 0 | f ”(2) > 0
- Kesimpulan | Cekung ke atas | Cekung ke bawah | Cekung ke atas
Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Titik Belok
Grafik fungsi pada Contoh 1 memiliki dua titik di mana kecekungan grafik tersebut berubah.
Jika grafik suatu fungsi memiliki garis singgung pada titik yang seperti itu, maka titik tersebut dinamakan titik belok.
Jika grafik suatu fungsi memiliki garis singgung pada titik yang seperti itu, maka titik tersebut dinamakan titik belok.
Tiga jenis titik belok dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Contoh 2:
Menemukan Titik Belok.
Tentukan titik-titik belok grafik, f(x) = x⁴ - 4x³. Dan tentukan kecekungan grafik fungsi tersebut.
Pembahasan untuk menentukan titik-titik belok grafik fungsi yang diberikan, pertama kita tentukan turunan kedua fungsi tersebut.
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
Dengan membuat f ”(x) = 0, kita dapat menentukan bahwa kemungkinan titik-titik beloknya terjadi pada x = 0 dan x = 2.
Dengan menguji selang yang ditentukan oleh nilai-nilai x tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa kedua titik tersebut merupakan titik-titik belok grafik f.
Dengan menguji selang yang ditentukan oleh nilai-nilai x tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa kedua titik tersebut merupakan titik-titik belok grafik f.
Perhatikan tabel berikut:
- Selang | –∞ < x < | 0 < x < 2 | 2 < x < ∞
- Nilai Uji | x = –1 | x = 1 | x = 3
- Tanda | f ”(x) f ”( –1) > 0 | f ”(1) < 0 | f ”(3) > 0
- Kesimpulan | Cekung ke atas | Cekung ke bawah | Cekung ke atas
Jadi, grafik fungsi f memiliki titik belok pada (0, 0) dan (2, –16). Grafik fungsi f dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)
(Maav, gambar ini telah terhapus. Silahkan anda cari di Google Image)