Pengertian, Contoh, Tabel Kebenaran, Hukum Logika Ekuivalen Logis

Photo by Annie Spratt on Unsplash - 

Objective

• Menjelaskan bahwa dua ekspresi logis yang ekuivalen dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.

• Menjelaskan bahwa dua ekspresi logis yang ekuivalen dapat mempunyai sifat komutatif dan atau asosiatif dengan melihat fungsi yang penting dari fpe.

• Menjelaskan hukum-hukum logika yang diperoleh dari ekuivalen berbagai ekspresi logika.

Ekuivalen Logis (≡)

Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila:

• Ekspresi logikanya adalah tautologis.

• Ekspresi logikanya adalah kontradiksi.

• Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama.

Contoh 1

• Dewi sangat cantik dan peramah
• Dewi peramah dan sangat cantik

Jika kita rubah ke dalam variabel proposisi:

• A = Dewi sangat cantik
• B = Dewi peramah

Maka ekspresi logika:

• A ∧ B
• B ∧ A

Sehingga: A ∧ B ≡ B ∧ A

Validitas dengan Tabel Kebenaran

(Maav, tabel/gambar telah terhapus)

Pembuktian dari tabel kebenaran di atas, bahwa kedua ekspresi logikanya bersifat contingent. Urutan F dan T sama maka dua ekspresi logikanya disebut ekuivalen or A ∧ B ≡ B ∧ A.

Contoh-2

• Badu tidak pandai atau dia tidak jujur
• Tidak benar jika badu pandai dan jujur

Jika kita rubah ke dalam variabel proposisi :

• P = Badu pandai
• Q = Badu jujur

Ekspresi logika dari dua proposisi di atas:

• ¬P ∨ ¬Q
• ¬(P ∧ Q)

Validitas

(Maav, tabel/gambar telah terhapus)

Terbukti bahwa kedua ekspresi logika di atas ekuivalen ¬P ∨ ¬Q ≡ ¬(P ∧ Q). Bagaimana jika tanda ekuivalen (≡) kita ganti dengan operator logika biimplikasi (↔).

Apakah sifat dari ekspresi tersebut ?

Validitas

Ekspresi logika diatas belum dikatakan ekuivalen logis meskipun nilainya di tabel kebenaran sama.

Untuk menjadikannya ekuivalen logis maka digunakan perangkai ekuivalensi antara kedua ekspresi logika tersebut, dan akhirnya menghasilkan tautology.

(Maav, tabel/gambar telah terhapus)

Komutatif

Ciri-cirinya : Variabel kedua proposisi dapat saling berganti tempat tanpa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi. Ex :

• (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
• (A ↔ B) ≡ (B ↔ A)

Perangkai Konjungsi (∧), Disjungsi (∨) dan Ekuivalensi (↔) bersifat komutatif.

Perangkai Implikasi (→) tidak bersifat komutatif dengan dibuktikan dari tabel kebenaran. Ex : (A → B) dengan (B → A) tidaklah ekuivalen.

Asosiatif: Mengacu pada pemindahan tanda kurung dan tidak mengubah nilai kebenarannya. Ex : ((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))

Buktikan dengan Tabel Kebenaran

• Biasanya terjadi pada perangkai yang sama (Disjungsi, Konjungsi dan Ekuivalensi)

Ex : ((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))

• Pengecualian pada Perangkai Implikasi (→)

Ex : ((A → B) → C) tidak sama  (A → (B → C)). Buktikan dengan Tabel Kebenaran!

• Jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika tidak bisa memindahkan tanda kurung dengan sembarangan.

Ex : ((A ∧ B) ∨ C) dan (A ∧ (B ∨ C)) tidaklah sama. Buktikan dengan Tabel Kebenaran!

Hukum-Hukum Logika

(Maav, tabel/gambar telah terhapus)

Hukum-Hukum Logika

(Maav, tabel/gambar telah terhapus)

Contoh 1

Tentukan formula equivalent yang lebih sederhana terhadap formula dibawah ini :

1. ¬ (P ∨ ¬ Q)
2. ¬ (Q ∧ ¬ P) ∨ P

Solusi 1

¬ (P ∨ ¬ Q)

≡ ¬ P ∧ ¬ ¬ Q (DeMorgan’s law)

≡ ¬ P ∧ Q (Double negation law)

Please check this equivalent is right by making a truth table …… !!! 

Latihan 1

• Jika Anda tidak belajar, maka anda akan gagal 
• Anda harus belajar, atau Anda akan gagal

Apakah kedua ekspresi diatas ekuivalen atau tidak ? Tahap Penyelesaiannya :

1. Tentukan variabel proposisinya terlebih dahulu
2. Buat ekspresi logikanya
3. Buktikan dengan tabel kebenaran

Latihan 2

• Jika badu tidak sekolah, maka Badu tidak akan pandai
• Jika Badu pandai, maka Badu pasti sekolah

Apakah kedua ekspresi diatas ekuivalen atau tidak ? Tahap Penyelesaiannya :

1. Tentukan variabel proposisinya terlebih dahulu
2. Buat ekspresi logikanya
3. Buktikan dengan tabel kebenaran

Latihan 3

Tentukan apakah dua ekspresi logika berikut ekuivalen ?

1. A ↔ B
2. (A→ B) ∧ (B→A)

Tentukan apakah dua ekspresi logika berikut ekuivalen ?

1. A ∧ B
2. ¬(¬A ∨ ¬B)

*Sumber : Buk Lusiana - Dosen STMIK Amik Riau

Baca Juga :

Artikel Terkait